El experimento está configurado por tres factores. El factor Tipo de Hospital, fijo, y a dos niveles. El factor Aparato o Sistema de desinfección, fijo, también, y a dos niveles. El factor Sala, aleatorio y anidado en Hospital. Por lo tanto, Hospital y Aparato están cruzados y Aparato y Sala también.

El modelo es el siguiente:

Si aplicamos el Algoritmo de Bennet-Franklin tenemos las siguientes esperanzas de los cuadrados medios:

A partir de estas esperanzas de los cuadrados medios debemos hacer los siguientes cocientes en los contrastes de hipótesis de este modelo:

La tabla ANOVA es, pues, la siguiente:

Esto nos da la siguiente estimación de los parámetros y de las componentes de la varianza:

El cálculo de la componente de la varianza del residuo sale del valor de cuadrado medio del residuo en la tabla ANOVA. Las otras dos de los siguientes cálculos a partir de las esperanzas de los cuadrados medios:

Evidentemente la componente de la varianza de la interacción entre Aparato y Sala, anidado dentro de Hospital, ya hemos visto que no era significativa, en la tabla ANOVA. La estimo para que se vea cómo se realiza. En ocasiones aunque no sea significativa es interesante estimarla y dar el valor de esa estimación. Evidentemente, si la estimación es negativa en ningún caso se dará tal estimación. Una varianza nunca puede ser negativa. Es un artefacto de la estimación. Al ser la componente tan insignificante, puede que por azar la estimación sea negativa. En este caso no se diría que la componente de la varianza estimada es -3,04 sino que se diría que es, simplemente, 0.

Supongamos que se ha ensayado en dos Hospitales (Uno de segundo y otro de tercer nivel) dos aparatos (A y B) para eliminar, en las salas, la contaminación ambiental. Para ello se toman al azar tres salas en cada uno de esos dos Hospitales. Se ensaya un día (un viernes por la tarde) mediante un aparato. Antes de empezarse con el tratamiento se toma una muestra de un metro cúbico de aire y se inicia entonces el proceso que dura una hora. Una vez finalizado el proceso se espera tres horas y entonces se toman dos muestras de un metro cúbico cada una y se evalúa el porcentaje de reducción de las unidades formadoras de colonias (ufc)/m3 en cada una de ellas. La semana siguiente, también un viernes por la tarde, se sigue exactamente el mismo procedimiento con el otro aparato.

Los datos obtenidos son los siguientes:

Se quiere saber si hay diferencias significativas en cuanto a la eficacia del tratamiento entre Hospitales de segundo y tercer nivel, entre los dos aparatos y entre salas. Se quiere saber, también, si hay alguna interacción destacable.

La respuesta correcta es la «c». Cuando se comparan dos métodos diagnósticos mediante curvas de este tipo el criterio es que es mejor método el que tiene una mayor área bajo la curva. Y la VS tiene un área mayor que la VTD.

Las curvas COR o ROC (en el orden de palabras inglés) es un mecanismo globalizado para poder evaluar una variable como método diagnóstico. En el Tema 23: Análisis ROC se explica cómo es la confección de esas curvas. En resumen, dado un método diagnóstico, lo que se hace es ir cambiando el umbral, el punto de corte, del valor de una variable para clasificar a un paciente entre dos opciones (tener o no la patología que se pretende diagnosticar). De esta forma se establece una medida de calidad del método diagnóstico. El área bajo la curva creada es uno de esos criterios.

La opción «a» no es cierta porque no es cierto que sean similares porque el área bajo la curva sea superior al 50% (generalmente los valores de área bajo la curva se dan en tanto por 1; en este caso diríamos, pues, 0.5). El criterio es que el área bajo la curva sea lo más próximo a 1, lo que indica que el método consigue una mejor calidad diagnóstica.

La opción «b» no es cierta porque la curva se aproximará más al ángulo superior izquierdo si él área es mayor y quien tiene un área bajo la curva mayor es la VS y no la VTD.

La opción «d» no es cierta porque la prevalencia no afecta ni a la sensibilidad ni a la especificidad, que son los dos conceptos con los que se configuran las curvas ROC. Afecta, eso sí, al Valor predictivo positivo y al Valor predictivo negativo, como puede verse en el artículo Sensibilidad, Especificidad, Valor predictivo positivo y Valor predictivo negativo.

La opción «e» no es cierta, tampoco. Precisamente el principal uso de esas curvas es para valorar la calidad de alguna variable cuantitativa, como las dos propuestas, para establecer un mecanismo diagnóstico. La RMN aparece, aquí, como el Gold standard que actúa como referencia de calidad de las dos variables obtenidas mediante el eco-doppler. El mecanismo que nos dice si realmente hay o no estenosis. Estenosis que queremos diagnosticar mediante esas dos mediciones que estamos comparando. Hemos de tener en cuenta que para valorar la calidad de un método diagnóstico debemos basarnos en una muestra de pacientes con la patología y otra muestra sin ella, para evaluar la calidad de la variable estudiada como método diagnosticador.

Queremos validar el eco-doppler carotídeo como prueba de cribado de la estenosis carotídea asintomática. Para ello comparamos los parámetros velocimétricos del eco-doppler velocidad sistólica (VS) y velocidad telediastólica (VTD), frente al resultado de la RMN (estenosis sí/no). En una curva COR se obtiene un área bajo curva para la VS de 82% y para la VTD de 70%. Señale la correcta:

1) Estos resultados indican que ambos test son similares, ya que en ambos el área bajo la curva es superior al 50%.
2) La curva VTD se aproxima más al ángulo superior izquierdo de la gráfica COR.
3) La VS es un mejor test diagnóstico.
4) Nos falta conocer la prevalencia de la enfermedad para poder saber qué parámetro es mejor.
5) El empleo de curvas COR no es apropiado para valorar la validez de parámetros cuantitativos frente a la RMN.

Solución

Se trata de un análisis con dos factores. Uno fijo (la forma de medida) y otro aleatorio (el factor medidor). Es por lo tanto un caso de ANOVA de dos factores a efectos mixtos. Un factor fijo cruzado con un factor aleatorio.

Debemos comprobar la normalidad de los residuos (con el test de Shapiro-Wilk). Debemos comprobar la igualdad de varianzas (con el test de Bartlett). Supongamos que ha sido comprobado y estamos bajo estas condiciones. De hecho, si miramos los datos, podemos comprobar que con muchas posibilidades se cumplirán esas condiciones. No hay ni aspecto de no normalidad, ni de heterogeneidad de varianzas, en cada uno de las ocho condiciones experimentales. Otra cosa sería que en algún grupo se vieran valores mucho más dispersos que en los otros, o una asimetría clara que hiciera pensar en un alejamiento de la distribución normal.

Si miramos los datos con atención podemos comprobar que hay una variabilidad residual, la que hay en cada una de las ocho condiciones experimentales. Una variabilidad residual que no es muy grande respecto a la que se aprecia en el conjunto de los datos.

Si miramos los datos veremos que los dos niveles del factor fijo (tipo de medida: fotoeléctrica o con cinta métrica) no presentan diferencias que parezcan muy relevantes.

Si miramos con atención los datos también podemos ver que los medidores sí que aportan una variabilidad considerable.

Y, finalmente, podemos apreciar, también, a simple vista, que no hay interacción: no parece que los resultados de un medidor cambien mucho si la medición la hace mediante un método u otro. El medidor que tiene tendencia a dar valores bajos los da bajos con ambos métodos. Y el medidor que tiende a dar valores altos los da altos con ambos métodos.

Veamos que todo esto está en consonancia con el análisis:

La tabla ANOVA es la siguiente:

Comprobar que aquí los cocientes de cuadrados medios se han hecho tal como dispone el ANOVA de dos factores a efectos aleatorios. El factor fijo va dividido por la interacción y el factor aleatorio por el residuo.

El factor fijo, tipo de medida, no presenta diferencias significativas (p-valor=0.2582), como puede apreciarse también en los intervalos de confianza del 95%:

El factor medidor, que es aleatorio, porque hemos elegido una muestra de alumnos para ver si, en general, el medidor introduce variabilidad, sí que es un factor significativo. No hace falta representar sus intervalos de confianza porque, al tratarse de una muestra de niveles, lo que nos interesa de esos alumnos es estimar la componente de la varianza que introduce el medidor en general.

Tampoco hay interacción. El gráfico de interacción también lo muestra:

Aunque hay un ligero cruce de líneas entre el alumno 3 y 4 no se trata de una interacción significativa, como muestra el p-valor de 0.2021.

Los parámetros del modelo son la constante, el efecto del factor fijo, que no es significativo, y las tres componentes de la varianza: la de medidor, la de la interacción, que tampoco es significativa, y la residual.

Los valores de estos parámetros son:

Este 1662.71 es el valor de la constante, la mu del modelo. La alfa1 sería -0.875 y la alfa2 sería 0.875. Pero esto es una estimación. Hemos de tener en cuenta que el contraste de hipótesis nos muestra que este efecto no es significativo.

Finalmente las componentes de la varianza. La estimación es la siguiente:

La componente de la varianza residual es el valor del cuadrado medio residual de la tabla ANOVA; o sea, 5.5. Las demás se calculan, como puede verse, a partir de la esperanza de los cuadrados medios del factor Alumno y de la esperanza de los cuadrados medios de la interacción. Ver de nuevo el fichero ANOVA de dos factores a efectos mixtos.

Se trata de estimaciones. El de la interacción, como hemos visto antes, no es una componente significativa.

Todo ello confirma que, realmente, a partir de estos datos del experimento, la variabilidad de la medición de la altura, es fundamentalmente una variabilidad introducida por el medidor. Que los dos sistemas de medida evaluados presentan diferentes importantes, ni las propias repeticiones del medidor. La variabilidad es entre medidores. Se maneja de forma muy distinta al paciente, por parte del medidor, a la hora de poner en posición al paciente para medirlo.

1d: El primer cuartil es 4 y el tercer cuartil es 8.5. Por lo tanto, el rango intercuartílico es 4.5. La mediana no es 9. Es 6.5.

2d: Siempre que tenemos un p-valor es que hemos realizado un Contraste de hipótesis. En este apartado se muestra un p-valor menor que 0.05, por lo que rechazaremos la Hipótesis nula. En un contraste de hipótesis el mecanismo siempre es el mismo: Hipótesis nula versus Hipótesis alternativa. Si el p-valor es superior o igual a 0.05 mantenemos la Hipótesis nula. Si el p-valor es menor que 0.05 entonces rechazamos la Hipótesis nula y aceptamos la Hipótesis alternativa.

El p-valor muchas veces se da simplemente como mayor o menor que 0.05. En el fondo es lo que básicamente nos interesa: Saber si debemos mantener la Hipótesis nula, previamente tomada como cierta, o si, por el contrario, debemos pasarnos a la Hipótesis alternativa. Por eso, en absoluto es cierto el apartado a.

El apartado b tampoco es cierto. Cuando una correlación es significativa sabemos inmediatamente si es positiva o negativa.

El apartado c también es incorrecto. El criterio de decisión es justo el contrario del que se especifica ahí.

3b: Para que el índice de Gini sea 0 todos los valores de la muestra deben ser iguales. En este caso la curva de Lorenz coincide con la diagonal y, por eso, el índice de Gini es 0. Y esto representa que la desviación estándar es también 0.

El valor máximo del coeficiente de Gini es 1, no 0.5.

El apartado c es incorrecto. Esa muestra nos daría un índice de Gini próximo a 1, no a 0.

Ni en el índice de Gini ni en la desviación estándar pueden tener valores negativos.

4c: En este apartado c, la correlación 0.3 es mayor que la correlación 0.5, sencillamente porque esta última no es significativa y, por lo tanto, debemos pensar que no tenemos argumentos para descartar que poblacionalmente la correlación no sea 0.

El apartado a es incorrecto porque una r=0.9 es una correlación con más magnitud que una r=0.5 pero para decir que sea más significativa deberíamos tener los p-valores, cosa que no tenemos.

La cantidad de correlación lo marca la magnitud. Por lo tanto, 0.5 no es mayor que -0.6.

El apartado d es incorrecto, también. Como ninguna de esas dos correlaciones es significativa, ambas correlaciones son 0 y, por lo tanto, ninguna es mayor que la otra. No tenemos información muestral suficiente, de momento, para decir cuál es mayor.

5d: Al tratarse de un intervalo de confianza de la media debemos calcular el Error estándar, que es 10/raíz(100); o sea, 1. Por lo tanto, un intervalo de confianza del 99.5 sería la media más menos 3 errores estándar; o sea, (47, 53).

1. En la muestra (8, 9, 5, 3), ¿qué afirmación es cierta?

a) El primer cuartil es 8.5.

b) El tercer cuartil es 4.5.

c) La mediana es 9.

d) El rango intercuartílico es 4.5.

2. Si la correlación entre dos variables es r=0.56 (p<0.05), ¿qué afirmación es cierta?

a) No sabemos si la correlación es significativa porque no tenemos el valor exacto del p-valor.

b) La correlación es significa pero no sabemos si es positiva o negativa.

c) La correlación no es significativa porque el p-valor es menor que 0.05.

d) En este contraste de hipótesis hemos rechazado la Hipótesis nula y hemos aceptado la Hipótesis alternativa, por ser el p-valor inferior a 0.05.

3. ¿Qué afirmación entre las siguientes es cierta?

a) El índice de Gini es máximo cuando es 0.5.

b) Un índice de Gini de 0 equivale a una Desviación estándar también de 0.

c) La curva de Lorenz de la muestra (1, 1, 1, 1000) nos daría un índice de Gini muy próximo a 0.

d) En el índice de Gini, contrariamente a lo que sucede con la desviación estándar, podemos tener valores negativos.

4. ¿Qué afirmación es cierta?

a) r=0.9 es una correlación más significativa que una correlación r=0.5.

b) r=0.5 es una correlación mayor que r= – 0.6.

c) r=0.3 (p=0.003) es una correlación mayor que una r=0.5 (p=0.56).

d) r=0.6 (p=0.48) es una correlación menor que una r=0.7 (p=0.45)

5. Tenemos una muestra de tamaño 100 de una variable que se ajusta bien a una distribución normal. La media muestral es 50 y la desviación estándar es 10. ¿Qué afirmación es cierta?

a) Un Intervalo de confianza del 95% de la media sería: (49, 51).

b) Un intervalo de confianza del 95% de valores individuales de la variable sería: (40, 60).

c) Un intervalo de confianza del 95% de la media sería: (30, 70).

d) Un intervalo de confianza del 99.5% de la media sería: (47, 53).

Solución