En los diferentes modelos de Análisis de la varianza (ANOVA), uno de los principales niveles de complejidad, cuando trabajamos con más de un factor, es saber cuáles son las F-ratio; o sea, los cocientes entre cuadrados medios que hay que hacer para realizar los contrastes de hipótesis necesarios para resolver del modelo. Elegir los cocientes adecuados es clave para que la decisión esté bien fundamentada.

El Algoritmo de Bennet-Franklin es un clásico mecanismo para encontrar las esperanzas de los cuadrados medios y así diseñar los cocientes necesarios para la realización de esos contrastes de hipótesis.

Evidentemente es muy recomendable leer el tema Tema 15: ANOVA para situar las nociones de factor, de nivel de un factor, de factor fijo o aleatorio, de factores cruzados o anidados, que irán apareciendo a continuación. También es importante ver los distintos modelos ANOVA que están descritos en el apartado HERBARIO DE TÉCNICAS de este Blog.

El objetivo de este Algoritmo de Bennet-Franklin es, como digo, la obtención de las esperanzas de los cuadrados medios calculados en cualquier tabla ANOVA y, por lo tanto, localizar los cocientes oportunos. Muchos software hacen cocientes incorrectos o bien dejan abierta la opcionalidad de los cocientes. El cálculo analítico de estas esperanzas es matemáticamente complejo. Por esto este sencillo algoritmo tuvo mucho éxito en su momento y continúa aplicándose hoy en día.

Veamos cómo es este Algoritmo.

Cuando se tiene localizado el modelo se trata de crear, en primer lugar, una matriz con tantas filas como efectos (parámetros o combinaciones de los parámetros con subíndices) tenga el modelo y tantas columnas como subíndices utilizados en el modelo.

A continuación se siguen los siguientes pasos:

1. Se escribe 1 en toda la fila correspondiente al residuo.

2. En todo cruce de fila con columna donde coincida un subíndice se escribe un 0 si el subíndice corresponde a un factor fijo que no corresponda a un subíndice que jerarquice a algún factor anidado en él. Se escribe, por el contrario, un 1 si el subíndice corresponde a un factor aleatorio o si forma parte de un subíndice que jerarquiza a algún factor anidado en él.

3. Los espacios vacíos se rellenan con el número de valores de cada uno de los subíndices de las diferentes filas de la matriz creada.

Veamos un ejemplo en un caso de dos factores cruzados y con un factor fijo y el otro aleatorio. Se trata del ANOVA de dos factores a efectos mixtos:

Primero se construye la siguiente matriz:

Una fila por efecto y una columna por cada índice implicado. A continuación se ponen siempre, como he dicho en el apartado primero 1 en la última fila, la del residuo:

A continuación se mira cada fila por fila y cuando coincida un subíndice del efecto considerado en la fila con el subíndice de la columna se pone un 0 ó un 1 según el criterio especificado en el anterior punto 2. Lo repito: Se escribe un 0 si el subíndice corresponde a un factor fijo que no corresponda a un subíndice que jerarquice a algún factor anidado en él. Se escribe, por el contrario, un 1 si el subíndice corresponde a un factor aleatorio o si corresponde a un subíndice que jerarquiza a algún factor anidado en él.

Veámoslo en nuestro ejemplo:

Ahora, siguiente el punto 3 anterior rellenamos las casillas vacías con los valores máximos de cada unos de los subíndices de las columnas:

Una vez llegados aquí debemos proceder de la siguiente forma. Fila por fila (efecto por efecto) iremos calculando la esperanza de los cuadrados medios tachando siempre las columnas donde aparezcan individualmente cada uno de los subíndices implicados en el efecto y las filas que no contengan a todos los subíndices implicados en el efecto considerado en aquel momento. Veámoslo paso a paso en nuestro ejemplo inicial:

Observemos que para evaluar la esperanza del primer efecto he tachado lo especificado: la primera columna, porque tiene la i y la segunda fila porque no contiene a la i. Al mismo tiempo he añadido los efectos en una columna a la derecha. Los efectos de un factor fijo pongo simplemente Efecto A o Efecto B o lo que sea (también pongo Ef.A como abreviación).

La esperanza del cuadrado medio consiste en ir multiplicando por filas lo que hay. Primera fila: bnEf.A, etc. Luego se suman estos productos por fila y acabas obteniendo la esperanza de aquel cuadrado medio.

Veamos la segunda esperanza:

Observemos que ahora nos queda más simplificado porque en una de las filas hay un 0 y esto transforma el producto de toda la fila en 0.

Siguiente esperanza de cuadrado medio:

Y, finalmente, la esperanza del cuadrado medio residual: este siempre lo podemos poner directamente como la sigma al cuadrado del modelo: la varianza residual, la varianza de las condiciones experimentales que siempre suponemos que es igual en todas las condiciones, por eso no tiene subíndice.

Pues ya lo tenemos. Podemos ver que coincide con las esperanzas de los cuadrados medios expuestos en el modelo ANOVA de dos factores a efectos mixtos.

Pues vamos ahora a practicar. Vamos a calcular mediante este Algoritmo las esperanzas de los cuadrados medios del modelo ANOVA de dos factores a efectos fijos:

La matriz sería:

Y el cálculo de las esperanzas medias es:

Vayamos ahora con otro caso, el modelo ANOVA de dos factores a efectos aleatorios:

La matriz:

Las esperanzas:

Otro ejemplo, ahora con factores anidados. El modelo ANOVA de dos factores anidados a efectos fijos:

La matriz es:

Y las esperanzas son:

Otro modelo, el ANOVA de dos factores anidados a efectos aleatorios:

La matriz es:

Y las esperanzas de los cuadrado medios es:

Y ahora casos un poco más complejos. Primero el modelo ANOVA con dos factores fijos cruzados y un tercer factor fijo anidado en ellos:

Los cuadrados medios se calculan así:

Otro modelo: ANOVA con dos factores fijos cruzados y un tercer factor aleatorio anidado en ellos:

Las esperanzas son:

Otro modelo: ANOVA de tres factores fijos anidados sucesivamente:

Esperanzas:

Veamos un modelo que es una variante del anterior. Tres factores anidados sucesivamente pero donde el primero es fijo y los otros dos son aleatorios. El modelo sería el siguiente:

Y las esperanzas:

Otro modelo: ANOVA de dos factores fijos cruzados y un tercer factor aleatorio anidado en uno de esos dos factores fijos:

Esperanzas:

A partir de este cuadro ya podemos decidir cuáles son los cocientes que hay que hacer.

Un ejemplo más (una advertencia previa: en la segunda fila de la matriz, la del Ef. B, en su cruce con la segunda columna, debe haber un 0 y no un 1, porque se trata de un factor fijo. Sin embargo, como se puede comprobar, eso no altera el cálculo de las esperanzas de los cuadrados medios):

A partir de este cuadro ya podemos decidir cuáles son los cocientes que hay que hacer.

Con todo lo visto podemos apreciar que mediante este Algoritmo de Bennet-Franklin tenemos un poderoso instrumento para poder encontrar las esperanzas de los cuadrados medios. Esto es clave para saber cuáles son los concientes que hay que hacer para contrastar los diferentes contrastes de hipótesis en cada modelo.

Estos cocientes son claves porque de lo que se trata con ellos es que en el numerador y en el denominador del cociente se estime lo mismo en el caso de ser cierta la Hipótesis nula. Que en el numerados el único elemento diferencial con el denominador sea el efecto focalizado en el contraste implicado. De esta forma si la F-ratio calculada es un valor pequeño deberemos mantener la Hipótesis nula y si ese F-ratio es grande la rechazaremos. Y lo haremos con razón porque el único elemento diferencial, como digo, será el elemento del contraste en cuestión.