1c: La magnitud de la V de Crámer en sí misma no nos indica su significación.

2d: Al tener una correlación positiva y significativa la pendiente de la recta será positiva y significativa, también. La correlación y la pendiente de la recta siguen el mismo camino siempre.

3d: Para tener una V de Crámer de 0 deberíamos tener un p-valor de 1. Para tener una V de Crámer de 1 deberíamos tener un p-valor muy pequeño. En ningún caso éste que tenemos. Tampoco tiene por qué ser 0.75. Por lo tanto, la opción es la ofrecida por d.

4d: Es evidente que no se trata de una correlación significativa porque el p-valor es mayor que 0.05. Por lo tanto, aunque tenemos una R2 buena (es mayor del 50%) no podemos hacer la regresión porque ésta sólo tiene sentido hacerla cuando la correlación entre las dos variables es una correlación estadísticamente significativa.

5a: El coeficiente de determinación me informa de la capacidad predictiva pero no sobre la significación.

6b: La correlación de Pearson cuantifica la relación entre variables cuantitativas, no cualitativas.

7d: La tabla observada será idéntica a la esperada. Tienen la misma proporción de hombre y mujeres, ambas facultades. La ji-cuadrado dará 0 y, por lo tanto, también la V de Crámer.

8c: Sabemos que únicamente las correlaciones b, c y d son significativas. Por lo tanto, la mayor de ellas es la c. Una vez se tiene un p-valor por debajo de 0.05 se trata de una correlación significativa, fiable. El que sea más pequeño el p-valor no la hace más grande a la correlación.

9c: Si la correlación es significativa también lo será la pendiente. El que, además, sea negativa la correlación indica que esa pendiente también será negativa, aunque no lo especifique.

10c: Es una buena correlación pero no significativa. Con esta información poco podemos hacer con esa correlación. Es evidente que estamos ante una muestra muy pequeña. Una correlación grande no significativa siempre va asociada a un tamaño muy pequeño.

1. En una V de Cramer no es cierto:

a. Es un valor entre el 0 y el 1.

b. Es una medida del grado de relación entre variables cualitativas.

c. Si el valor es mayor que 0.05 significa que se trata de una asociación significativa.

d. Cuanto mayor es su valor mayor relación hay entre esas variables cualitativas.

2. Si la correlación de Pearson entre dos variables es 0.7 (p<0.05) podemos afirmar:

a. La R² es del 70%.

b. La Regresión lineal que podremos hacer entre estas dos variables no sabemos si tendrá pendiente significativa hasta que no tengamos el p-valor.

c. La Regresión lineal que podremos hacer entre estas dos variables tendrá pendiente positiva pero no sabremos si es o no significativa.

d. La Regresión lineal que podremos hacer entre estas dos variables tendrá pendiente positiva y significativa.

3. Entre dos variables cualitativas la ji-cuadrado nos ha dado un p-valor de 0.75. La V de Crámer nos dará:

a. 0.

b. 1.

c. 0.75.

d. No podemos precisar qué valor obtendremos pero en ningún caso será ni 0 ni 1.

4. De una correlación r=-0.8 (p=0.1), podemos decir:

a. El tamaño muestral debe ser muy grande para tener ese p-valor con esta correlación.

b. Hay una relación significativa entre las variables estudiadas porque el coeficiente de determinación es mayor del 50%.

c. Podremos predecir con una precisión aceptable el valor de una variable a partir de la otra, porque la relación entre ellas es significativa.

d. El coeficiente de determinación es aceptable pero no podemos hacer una regresión porque no estamos ante una relación estadísticamente significativa.

5. En una Regresión lineal simple es cierto:

a. Si la R² es superior al 50% no tenemos necesariamente una relación estadísticamente significativa entre las variables de la regresión.

b. Si la correlación es r=0.5 el coeficiente de determinación del 50%.

c. Si la correlación de Pearson es significativa entonces la pendiente es positiva.

d. Si la ecuación de la recta es y=2x-3, la correlación será negativa aunque no sabremos si es o no significativa.

6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es cierta?:

a. La V de Crámer cuantifica la relación entre dos variables cualitativas.

b. La correlación de Pearson cuantifica la relación entre dos variables cualitativas.

c. Una V de Crámer nunca será negativa.

d. La ji-cuadrado nunca será negativa.

7. Los datos de una muestra obtenidos se resumen de la siguiente forma: 100 mujeres en facultades de Medicina, 100 mujeres en facultades de Historia. 50 hombres en facultades de Medicina y 50 hombres en facultades de Historia. ¿Qué afirmación es la más coherente hacer, sobre la relación entre la variable sexo y la variable ser estudiante de Medicina o Historia, con la información que tenemos?

a. La correlación de Pearson es 0.

b. La V de Cramer es mayor que 0.5

c. La V de Cramer es 1.

d. La V de Cramer es 0.

8. ¿Qué correlación es mayor?

a. r=0.9

b. r=0.3 (p=0.001)

c. r=0.7 (p=0.04)

d. r=-0.5 (p=0.000001)

9. Si estamos construyendo una fórmula matemática que nos concrete la relación entre la variable “Temperatura media anual” y la variable “Altitud” en una estación metereológica, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

a) Deberemos aplicar un Test de la ji-cuadrado.

b) Si la correlación entre esas dos variables es significativa tendremos una R² superior al 95%.

c) Si la correlación de Pearson es significativa y negativa la pendiente de la Regresión lineal simple será significativa.

d) Si la correlación de Pearson es negativa, la pendiente de la Regresión lineal simple será significativa.

10. Si nos dicen que tenemos entre dos variables una r=0.9 (p>0.05) podemos decir:

a) Tenemos una R² demasiado pequeña para que podamos hacer un buen pronóstico de una variable a partir de la otra.

b) La correlación es significativa porque es la R² es del 81%.

c) Esta correlación, debido a un tamaño de muestra muy bajo, nos es poco útil con la información que tenemos.

d) La correlación es significativa y la R² es del 81%, por lo que al tratarse de un coeficiente de determinación alto (mayor del 50%) podremos hacer un buen pronóstico de una variable a partir del conocimiento de la otra.

1.Se trata de un modelo de dos factores fijos y cruzados. Ver ANOVA de dos factores fijos. Son, ambos, factores fijos porque se han elegido dos materiales concretos y tres tipos concretos de longitud de nanofibras. Se trata claramente de dos factores cruzados porque cada material se combinada con cada una de las tres longitudes de las nanofibras.

La tabla ANOVA es la siguiente:

Para evaluar cuáles son los cocientes a hacer para obtener las respectivas F-ratio (Razón-F) debe verse el Algoritmo de Bennet-Franklin.

Esta tabla ANOVA nos muestra que hay diferencias entre los niveles del factor Fórmula, entre los niveles del factor Longitud y que hay interacción significativa, también. La estimación de los parámetros del modelo son los siguientes:

Una estimación de los dos parámetros del factor Fórmula es: 2.78 y -2.78.

Y una estimación de los tres parámetros del factor Longitud es: 6.435, -9.31 y 2.875 (este tercero no lo da el software pero sabemos que es él porque los tres parámetros deben sumar 0.

Finalmente, los 6 parámetros de la interacción son:

-1.68  1.68

-2.53  2.53

4.21  -4.21

Las comparaciones múltiples nos dan las siguientes diferencias dos a dos:

Los gráficos de medias de los diferentes niveles de los dos factores, con sus respectivos intervalos de confianza, muestran, gráficamente, de forma clara, cuáles son esos perfiles:

Y, finalmente, si se quisiera comprobar el cumplimiento de las suposiciones: la igualdad de varianzas y la normalidad, haríamos los dos siguientes contrastes que muestran que se cumplen las condiciones del modelo ANOVA usado: igualdad de varianzas y normalidad:

2. Se trata de un modelo de dos factores anidados mixtos. El factor Desinfectante es fijo y el factor Zona es aleatorio y anidado en el factor Desinfectante. Ver ANOVA de dos factores anidados mixtos. Se han tomado dos desinfectates concretos por lo que se trata de un factor fijo, pero las zonas se han elegido al azar en cada una de las dos salas por lo que se trata de un factor aleatorio. Además, se trata, la zona, de un factor anidado puesto que se toman zonas que están sólo en una sala.

La tabla ANOVA es la siguiente:

Para ver cuáles son los cocientes a hacer y para estimar las componentes de la varianza es necesario aplicar el Algoritmo de Bennet-Franklin.

La estimación de los parámetros del modelo son los siguientes:

Una estimación de los dos parámetros del factor Desinfectante es: 4.47 y -4.47.

Si hacemos las comparaciones múltiples:

Si analizamos las condiciones del modelo:

El Desinfectante 1 se ajusta a una distribución normal N(26.3+4.47, Raíz(12.97+4.22))=N(30.77, 4.146). Esto es cierto precisamente por lo que acabamos de demostrar.

Observemos que hemos tomado para el cálculo de la varianza las dos componentes de la varianza. La de zona no es estadísticamente significativa pero a la hora de estimar la contribución a la variabilidad la tomamos. Es discutible, evidentemente, si debe o no debe hacerse. En todo caso resolver el problema tomando sólo como componente de la varianza la del residuo sería también coherente porque sería hacer prevalecer el contraste de hipótesis a la estimación. Pero como tenemos muestras pequeñas la potencia del contraste será baja y, por lo tanto, parece más coherente usar la estimación.

Si nos preguntaran cuál es la probabilidad de que con este desinfectante tengamos valores por encima de 30 deberíamos calcular la probabilidad de que en esta normal tengamos valores por encima de 30. Esta probabilidad es:

O sea, un 57,36%.

3. Se trata de un modelo de dos factores aleatorios cruzados. Ver ANOVA de dos factores a efectos aleatorios. Son dos factores aleatorios claramente: se toman dos de las muchísimas muestras que podrían tomarse de líquido cefalorraquídeo de un paciente. Además, se eligen cuatro operarios al azar. El objetivo es ver cómo se reparte la variabilidad de los resultados entre las diferentes fuentes posibles de variación: la muestra, el operario y la interacción entre muestra y operario.

La tabla ANOVA es la siguiente:

Para ver cuáles son los cocientes a hacer y para estimar las componentes de la varianza es necesario ver el Algoritmo de Bennet-Franklin.

La estimación de los parámetros del modelo son los siguientes:

Las suposiciones del modelo se cumplen porque:

Finalmente la variación total es:

Varianza total=3.57+1.55+0.538+0.05=5.7

Aquí podría ser controvertido si tomar el valor de 1.55 ó no tomarlo, puesto que el contraste de hipótesis nos ha salido no significativo. Lo he tomado porque, aunque no significativo, algún efecto estimamos que está aportando el operario.

Desviación estándar=2.38

Por lo tanto, si establecemos un límite de ±3,5 en un intervalo del 95% éste lo sobrepasa porque 2 veces ese valor de desviación estándar es 4.76 (más preciso sería calcular 1.96 veces el valor de desviación estándar pero seguiría siendo un valor muy similar: sería 4.66). Por lo tanto, hay que intentar disminuir la variación introducida por la toma de muestra que es lo que introduce más fuente de variación (3.57) de ese total de 5.7.

1. Se pretende evaluar la absorción acústica de dos materiales (M1 y M2) y de tres longitudes diferentes de unas noanofibras (C=Cortas, M=Medias y L=Largas) incorporadas a cada uno de esos materiales. El objetivo es usar la mejor combinación, si la hay, para aislar edificios cercanos a carreteras. Para ello se realiza un experimento combinando cada material con cada longitud de nanofibras. Los porcentajes de disminución del sonidos son los siguientes:

Proponer el modelo y resolverlo.

2. Se quiere evaluar la reducción de la contaminación ambiental por hongos en salas hospitalarias mediante dos mecanismos de desinfección diferentes. Para ellos se toman dos salas diferentes, en un mismo hospital, pero dos salas de un nivel de contaminación similar. Se elige, al azar, en cada una de esas dos salas, tres zonas donde realizar la desinfección y la posterior toma de muestra. En cada zona se evalúan cuatro recuentos de hongos para evaluar la reducción de la concentración inicial. Los datos de reducción obtenidos son los siguientes:

Proponer el modelo y resolverlo. Evaluar cuál es la probabilidad de que el Desinfectante 1 dé un valor por encima de 30.

3. Se quiere saber la contribución a la variabilidad que introducen tanto la toma de la muestra ante el paciente como la intervención de los operarios en el laboratorio en el análisis de un determinado parámetro del líquido cefalorraquídeo. Para ello se hace a un mismo paciente dos tomas de muestra y cada una de ellas se divide en 8 submuestras. Se eligen al azar 4 de los operarios que trabajan habitualmente en ese laboratorio. Cada operario realiza el análisis a dos  submuestras de cada una de esas dos muestras. Los resultados obtenidos son los siguientes:

Estimar cuál es la variabilidad total. ¿Es razonable si sólo estamos dispuestos a admitir un error de ±3.5?

Se trata claramente de un ANOVA de dos factores cruzados, uno fijo (la técnica) y el otro aleatorio ( el operario). La comprobación de la normalidad y de la igualdad de varianzas no permite estar bajo las condiciones del modelo:

La tabla ANOVA es la siguiente:

Observemos que al ser un ANOVA de factores mixtos (uno fijo y uno aleatorio) los cociente de cuadrados medios son los que aparecen en la tabla.

Hay significación tanto en los métodos como en el operario. No así en la interacción.

Los parámetros del modelo son:

El cálculo de las componentes de la varianza se realizan así:

Si ahora quisiéramos calcular la probabilidad de que la T1 ó la T2 dé valores por encima, por ejemplo, de 22, deberíamos ver con qué distribución normal debemos trabajar. La media la tomaríamos estimando la media de cada una de las dos técnicas y respecto a la varianza total hay dos opciones, como se puede ver: Considerar la de la interacción como 0 ó como el valor negativo que surge de la estimación. Me he inclinado por la primera opción, como puede verse a continuación:

En la técnica 1 un 8,3% de valores serán mayores de 22 y en la técnica 2 un 67,7%.

Supongamos que queremos ensayar dos técnicas concretas diferentes (T1 y T2) para evaluar un determinado parámetro sanguíneo y queremos, además, ver cómo influye, en la variación del resultado, el operario. Para ello se toman tres operarios al azar entre  los muchos del laboratorio. Se toma una misma muestra y cada operario hace la medición con las dos técnicas haciendo dos réplicas. Los resultados son los siguientes:

Estudiar si hay diferencias significativas entre ambas técnicas y si hay variabilidad significativa entre operadores.

Ver a qué modelo de ANOVA se ajusta la situación.

Estimar los parámetros del modelo.

Calcular la probabilidad de que la técnica 1 y la técnica 2, por separado, dé un valor por encima de 22 en una muestra con las características de la tomada.

En una revista científica he detectado este error curioso. Calculan tres correlaciones con sus correspondientes p-valores. Pero se equivocan en el sentido del símbolo de mayor. Obviamente  debía constar el símbolo de menor.

Escribir esto es decir que no sabemos si esas tres correlaciones son o no significativas. Sería como decirle a un alumno, como información de la nota de un examen, que ha sacado más de un 1. Se quedaría, igualmente, con la duda de si ha aprobado o ha suspendido. De poco le serviría esa información.