En matemáticas siempre estamos hablando de entidades. La diferencia es que estas entidades pueden ser cualesquiera: personas, empresas, planetas, células, libros, palabras. Y, también, hay una diferencia importante: que esas entidades están como en un segundo plano. El foco no está en ellas en cuanto tales, sino en las características de las que son portadoras.

Lo que nos interesa de esas entidades, pues, son sus características, sus propiedades, que es a lo que denominamos, en matemáticas, llamamos variables. Por ejemplo, si las entidades son personas nos interesa qué edad tienen, si tienen o no diabetes, cuántas unidades de helado consumen en un año, etc. Si son empresas nos interesan cuántos productos venden, cuántos empleados tienen, etc.

Las características entre ellas tienen relaciones, establecen conexiones. Por ejemplo, la altura y el pie que calza las personas, que son ambas variables, tienen relación. La renta de las personas y el consumo de jamón jabugo al año son variables también las dos y tienen una clara relación.

Los modelos son maquetas, son dibujos abstractos, hechos con material matemático, de las relaciones de las variables de las entidades.

Veamos, en varios pasos, el proceso de la modelización con un ejemplo en Economía:

Se trata de una función de demanda de un producto A expresada en cuatro niveles distintos de abstracción o de concreción, expresada únicamente en función del precio de ese mismo producto.

La última expresión, que es la más concreta, la podemos entender mejor si manejamos el siguiente programa de Excel:

Veamos ahora un modelo de lo mismo pero con un elemento más:

Se trata de la misma función de demanda del producto A expresada, tambíen, en cuatro niveles distintos de abstracción o de concreción, expresada ahora en función del precio de ese mismo producto A y del precio de otro producto B.

Lo podemos entender mejor si manejamos el siguiente programa de Excel:

Veamos otro modelo con los mismos elementos, pero distinto:

Se trata de la misma función de demanda del producto A expresada ahora en función del precio de ese mismo producto A y de la renta, de las ganancias, del demandante.

Podemos manejar ese modelo con el siguiente programa de Excel:

Finalmente, veamos un modelo un poco más complejo:

Se trata de la misma función de demanda del producto A expresada ahora en función del precio de ese mismo producto, del precio del producto B y de la renta del demandante.

Podemos manejar ese modelo con el siguiente programa de Excel:

Recordemos:

Dos ejemplos de preguntas de examen:

Representación de las derivadas parciales:

En estas funciones lineales el máximo o mínimo siempre está en algún vértice de la zona factible.

Veámoslo en este ejemplo visto:

Veamos el primer caso con Geogebra 3d, teniendo en cuenta que en Geogebra se trabaja con x, y, z:

En este caso el punto con el valor más elevado es el (10, 0).

Veamos ahora la segunda función:

En este caso el máximo está en el punto (0,5).

Veamos gráficamente la tercera:

En este caso el máximo está en el punto (10, 0).

Veamos ahora ejemplos prácticos de aplicación de estas cuestiones matemáticas:

1.Una empresa distribuidora de fruta suministra dos tipos de cajas (A y B) con naranjas y mandarinas en ambas. En la caja A hay 8 Kg de naranjas y 2 Kg de mandarinas, en la B 5 Kg de naranjas y 5 de mandarinas. Un año que la producción de naranjas ha sido de 24000 y la de mandarinas de 12000 y que el precio de venta es de 0,6 euros el Kg de naranjas y de 0,7 euros el Kg de mandarinas, ¿cuántas cajas de cada tipo maximizan el beneficio?

2.Una empresa turística de aventuras en barco ofrece dos tipos de actividades A y B. La A tiene un preciso de 60 euros por persona con un límite de 10 participantes por barco y con la necesidad de 5 instructores. La actividad B tiene un precio de 18 euros y pueden ir hasta 25 personas en el barco y precisa de 2 instructores. La empresa cuenta con 30 barcos y 75 instructores. Para obtener el máximo de ingresos suponiendo que llenará todos los barcos. ¿Cuál es la disposición de las dos actividades A y B con la que se conseguiría el máximo de beneficio?

3.Un restaurante acaba de abrir y quiere anunciarse en radio y TV durante una semana. Tiene un presupuesto de 18.000 euros. Cada anuncio de radio cuesta 1000 euros y un estudio previo nos dice que hace falta hacer al menos 3 para generar efectos. Cada anuncio en TV cuesta 3000 euros y por disponibilidad de programación se pueden hacer como máximo 4. Se estima que por cada anuncio de radio se obtienen 10 clientes y por cada anuncio en TV 60 clientes. ¿Cuál es la mejor forma de invertir en ambos anuncios para obtener el máximo de nuevos clientes?

4.Una fábrica produce A y B. El producto A le da un beneficio de 20 euros y B de 25 euros. Cada mes puede producir en total 120 artículos. Como máximo puede producir 100 productos de A y debe producir como mínimo 10 de B. Además la cantidad de A debe ser como mínimo el triple de B. ¿Cuál es la producción mensual que le aporta más beneficio?

Una aplicación muy importante en matemáticas de las matrices es el concepto de matriz asociada a una función vectorial de variable vectorial.

Ejemplos:

SOLUCIONES:

SOLUCIONES:

Siempre que sea posible es muy interesante tratar de representar estas funciones. Veamos un ejemplo posible: