Conjuntos:

Un conjunto es una reunión, bajo cualquier criterio, de una serie de entidades.

Subconjunto es un conjunto que está incluido en otro conjunto.

En forma gráfica típica:

Los conjuntos más usuales en Matemáticas son:

Conjuntos de números (Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos)

Conjuntos de matrices

Conjuntos de funciones

Producto cartesiano de dos conjuntos:

El producto cartesiano de dos conjuntos es un conjunto formado por todas las parejas posibles de elementos de los dos conjuntos, respetando el orden: el primer elemento es del primer conjunto y el segundo elemento lo es del segundo conjunto.

Ejemplos: El plano es un producto cartesiano. En una clase se puede establecer el producto cartesiano de ella por ella misma.

Conjuntos de números:

Veamos la posición relativas de los diferentes conjuntos de números que veremos:

Números naturales:

Leopold Kronecker decía en el siglo XIX que los números naturales son los que creó Dios y los demás tipos de números eran creación humana.Tradicionalmente representados por una N.

Nos sirven como modelos de la cantidad de entidades que vemos, que manejamos.

Números enteros:

Son los números naturales, más los naturales negativos y el cero.

Tradicionalmente representados por una Z.

Nos sirven, entre otras muchas cosas, para modelizar las deudas, las temperaturas por debajo de cero, los pisos por debajo del suelo.

Números racionales:

Son los denominados, también, fracciones o, antiguamente, los números quebrados.

Tradicionalmente representados por una Q.

Nos sirven para modelizar cosas como partes de un todo. Cuánta pizza toca a cada uno, cuánta parte llevamos pagada, etc.

Números reales:

Es la suma de los números racionales y de los denominados números irracionales.

Los irracionales son los números que no son racionales; o sea, números que no se pueden expresar en forma racional.

Tradicionalmente representados por una R.

Nos sirven como modelo de muchas cosas. Por ejemplo, para calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1. También para saber la relación que hay entre el radio y el perímetro de una circunferencia cualquiera.

Números complejos:

Son unos números que representan la suma de los reales más unos números que tienen la denominada componente imaginaria.

Tradicionalmente representados por una C.

Son modelo de situaciones más sofisticadas. Una por ejemplo: todos recordamos aquellas ecuaciones de segundo grado que al aplicar la regla para encontrar las soluciones aparecía la raíz cuadrada de un número negativo. Decíamos, entonces, que no había solución, que era una ecuación sin solución. Pues, aquellas ecuaciones tienen solución en el conjunto de los números complejos. En ciertos campos del conocimiento aparecen problemas que se plantean en forma de ecuación y cuya solución son números complejo.

Relaciones:

Ejemplos de relaciones:

1)Ser mayor o igual.

2)Ser divisor de un número.

3)Regiones factibles.

4)En una clase, haber hablado, tener el teléfono, haber estudiado la secundaria en la misma escuela, etc.

Funciones:

Una función es un tipo especial de relación. Es una relación que a todo elemento del conjunto A (denominado Dominio) se le asocia un único elemento del conjunto B (denominado Codominio o Recorrido).

Antiimagen de un punto del codominio:

Es muy importante practicar con diferentes tipos de funciones vistas durante el bachillerato. La parametrización es una forma de ver diferentes funciones y su representación de una forma unitaria:

En matemáticas siempre estamos hablando de entidades. La diferencia es que estas entidades pueden ser cualesquiera: personas, empresas, planetas, células, libros, palabras. Y, también, hay una diferencia importante: que esas entidades están como en un segundo plano. El foco no está en ellas en cuanto tales, sino en las características de las que son portadoras.

Lo que nos interesa de esas entidades, pues, son sus características, sus propiedades, que es a lo que denominamos, en matemáticas, llamamos variables. Por ejemplo, si las entidades son personas nos interesa qué edad tienen, si tienen o no diabetes, cuántas unidades de helado consumen en un año, etc. Si son empresas nos interesan cuántos productos venden, cuántos empleados tienen, etc.

Las características entre ellas tienen relaciones, establecen conexiones. Por ejemplo, la altura y el pie que calza las personas, que son ambas variables, tienen relación. La renta de las personas y el consumo de jamón jabugo al año son variables también las dos y tienen una clara relación.

Los modelos son maquetas, son dibujos abstractos, hechos con material matemático, de las relaciones de las variables de las entidades.

Veamos, en varios pasos, el proceso de la modelización con un ejemplo en Economía:

Se trata de una función de demanda de un producto A expresada en cuatro niveles distintos de abstracción o de concreción, expresada únicamente en función del precio de ese mismo producto.

La última expresión, que es la más concreta, la podemos entender mejor si manejamos el siguiente programa de Excel:

Veamos ahora un modelo de lo mismo pero con un elemento más:

Se trata de la misma función de demanda del producto A expresada, tambíen, en cuatro niveles distintos de abstracción o de concreción, expresada ahora en función del precio de ese mismo producto A y del precio de otro producto B.

Lo podemos entender mejor si manejamos el siguiente programa de Excel:

Veamos otro modelo con los mismos elementos, pero distinto:

Se trata de la misma función de demanda del producto A expresada ahora en función del precio de ese mismo producto A y de la renta, de las ganancias, del demandante.

Podemos manejar ese modelo con el siguiente programa de Excel:

Finalmente, veamos un modelo un poco más complejo:

Se trata de la misma función de demanda del producto A expresada ahora en función del precio de ese mismo producto, del precio del producto B y de la renta del demandante.

Podemos manejar ese modelo con el siguiente programa de Excel:

Recordemos:

Dos ejemplos de preguntas de examen: