Problemas de Teorema de las probabilidades totales y Teorema de Bayes

1. Supongamos que tenemos dos urnas (A y B). En la urna A tenemos 2 bolas blancas y 3 bolas negras. En la urna B tenemos 3 bolas blancas y 4 bolas negras. Se toma una de las dos urnas al azar y luego se toma una bola al azar de ella. Sabemos que ha salido una bola negra. Calcular la probabilidad de que sea una bola negra que proceda de la urna B.

Solución:

Vamos a dibujar el problema. Vamos a ver cómo se puede dibujar para que podamos aplicar el Teorema de las probabilidades totales y el Teorema de Bayes y aplicaremos ambos teoremas:

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2. En una urna A tenemos 2 bolas blancas y 3 bolas negras. En una urna B tenemos 3 bolas blancas y 4 negras. Pasamos una bola de A a B sin mirar de qué color es y, después, una de B a A también sin mirar. Posteriormente se extrae una bola de A. Calcular la probabilidad de que la bola que hemos pasado primero de A a B sea negra si sabemos que la bola que hemos extraído al final de A ha sido negra.

Solución:

Como siempre un problema de probabilidades es muy conveniente dibujarlo. Y ver cómo se adapta a un problema de aplicación del Teorema de las probabilidades totales y del Teorema de Bayes.

Veamos cómo se dibujaría este problema:

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Y si aplicamos los dos teoremas tenemos el siguiente resultado:

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3. Sabemos que entre las personas que sufren sordera congénita 1 de cada 50 son, además de sordos, también invidentes. Se estima, también, además, que la probabilidad de que un sordo no invidente adquiera el lenguaje oral es de 0.1, mientras que esta probabilidad baja a 0.01 en caso de sordos invidentes. Se pide:

a. Una estimación del porcentaje de sordos congénitos que adquieren el lenguaje oral.

b. Sabiendo que un sordo congénito que sabemos que ha adquirido el lenguaje oral calcular la probabilidad de que sea invidente.

Solución:

Utilizaremos la nomenclatura:

SNI=Sordo no invidente

SI=Sordo invidente

LO=Lenguaje oral

Como hemos visto la clave de este tipo de problemas es dibujarlo. El dibujo recogiendo los datos del problema es el siguiente:

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La primera pregunta pide P(LO) y hace falta aplicar el Teorema de las probabilidades totales.

La segunda pregunta pide P(SI/LO) y hace falta aplicar el Teorema de Bayes.

Las respuestas son las siguientes:

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4. Los ejemplares de la  especie bacteriana Escherichia coli pueden mutar y adquirir resistencia a los antibióticos. En un experimento consideramos 3 variedades (serotipos concretos) de E. coli, llamados, para abreviar, V1, V2 y V3, y, consideramos también, la resistencia a 2 antibióticos frecuentemente utilizados: A y B.

En presencia de un cierto compuesto mutagénico estas 3 variedades de E. coli tienen probabilidades diferentes a la hora de adquirir resistencia respecte a A y a B. A continuación se indica la probabilidad de que un individuo presente alguna de las diferentes combinaciones de resistencia en función de si pertenece a una u otra variedad de E.coli:

Si es V1:

p(“no resiste ni A ni B”)=0.94, p(“resiste sólo a A”)=0.02, p(“resiste a A y a B”)=0.01.

Si es V2:

p(“no resiste ni A ni B”)=0.97, p(“resiste sólo a A”)=0.02, p(“resiste a A y a B”)=0

Si es V3:

p(“no resiste ni A ni B”)=0.91, p(“resiste sólo a  A”)=0.05, p(“resiste a A y a B”)=0.03.

Se prepara una solución con el compuesto mutagénico y una mezcla de individuos no resistentes de los que un 40% de bacterias son V1, un 30% son V2 i un 30% son V3. Asumiendo que ha transcurrido el tiempo necesario para que aparezcan mutaciones y que la aparición de resistencias se ha producido de acuerdo a las probabilidades descritas anteriormente, calcular:

a.¿Cuál es la probabilidad de que una bacteria cualquiera de la solución no presente resistencia a ninguno de los dos antibióticos?

b. Si una bacteria presenta resistencia sólo al antibiótico A, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la variedad 3?

Solución:

a. Es importante siempre en este tipo de problemas dibujarlo. Veamos en primer lugar las probabilidades de resistencias distintas en cada variedad de E. coli:

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Y ahora veamos cómo se dibujaría lo preguntado en la primera pregunta:

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La aplicación del Teorema de las probabilidades totales es clara en este caso, tenemos la información adecuada para ello. Tenemos una partición y un conjunto solapado con todos los elementos de la partición, tenemos también las probabilidades de cada elemento de la partición y las probabilidades condicionadas correspondientes. El conjunto solapado con la partición es, en este caso, el formado por los ejemplares que no han generado resistencia a ninguno de los dos antibióticos, que es el conjunto complementario al formado por la unión de A y B, como se expresa en el gráfico. Los cálculos necesarios, pues, para responder a la primera pregunta son:

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b. Para resolver este segundo apartado el dibujo que hay que hacer es otro, es el siguiente:

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Ahora el conjunto que está inmerso en la partición es el conjunto A-B, que representa lo que hay en A que no comparte con B; o sea, los ejemplares que presentan resistencia únicamente al antibiótico A, como nos plantea el problema. Lo he dibujado pequeño porque las probabilidades son pequeñas.

Ahora debemos aplicar el Teorema de Bayes, porque sabemos que se ha producido el suceso A-B y queremos calcular la probabilidad de que se trate de la variedad V3. Los cálculos son los siguientes:

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