La Regresión logística es uno de los modelos matemáticos más usuales en Medicina. Un modelo no puede aplicarse así, sin más, porque se suela hacer. Un modelo puede usarse siempre y cuando haya un buen ajuste. Usar un modelo sin ajustarlo previamente es actuar a ciegas y esto es grave en ciencia.

El Test de Hosmer y Lemeshow es un test de bondad de ajuste de unos datos a un modelo de Regresión logística. Y como la Regresión logística es muy usual en Medicina este Test es un muy importante Test en Medicina.

Un Test de bondad de ajuste, en general, lo que hace es comprobar si el modelo propuesto puede explicar lo que se observa. Es un Test donde se evalúa la distancia entre lo observado en los datos que tenemos de la realidad y lo esperado bajo el modelo. Para introducirse en la visión general de los tests estadísticos donde se evalúa la distancia entre observado y esperado ver el artículo Tema 8: Relación entre variables cualitativas: Test de la ji-cuadrado.

El Test básicamente consiste en dividir el recorrido de valores de la variable dependiente (0,1) en una serie de intervalos. Intervalos que contengan un número de observaciones suficientemente grande (5 ó más). Se trata, entonces, de contar intervalo por intervalo el esperado y el observado para cada uno de los dos resultados posibles de la variable dependiente dicotómica (tiene la enfermedad o no la tiene, es hombre o mujer, etc). El observado es lo que se tiene y el esperado es el valor esperado teórico calculado mediante el modelo construido. El estadístico es un estadístico de la ji-cuadrado, como el visto en el tema dedicado a la relación entre variables cualitativas.

Veamos un par de ejemplos donde podemos comprobar la aplicación del Test a un caso donde hay ajuste y a otro donde no lo hay. El ejemplo es con pocos datos, para que se entienda mejor, lo que fuerza a que el número de observaciones por intervalo sea muy bajo (menos de 5), lo que hace menos fiable el test. Los datos son los siguientes:

Vemos la variable «y» que es la variable dependiente. Una variable codificada con 1 ó 0. Es la variable dicotómica estudiada: Enfermo-No enfermo, Muere-No muere, Metástasis-No metástasis, etc.

Las otras dos variables son las variables independientes. Haremos una Regresión logística con cada una de las dos variables independientes.

Empezemos con la primera, la variable x1. El dibujo de la Regesión logística es el siguiente:

Como puede verse los valores aparecen bien segregados, los valores con variable dependiente 1 ó 0. La aplicación del Test de Hosmer-Lemeshow es la siguiente:

Observemos que el p-valor es superior a 0.05. Aquí la Hipótesis nula es que el modelo se ajusta a la realidad. En un Test de bondad de ajuste siempre en la Hipótesis nula se afirma que el modelo propuesto se ajusta a lo observado. Por lo tanto, un p-valor superior a 0.05 implica que lo que observamos se ajusta suficientemente a lo que esperado bajo el modelo.

Observemos también que en la tabla de aplicación del Test, en la que se van calculando, en una serie de intervalos, los valores observados y esperados, hay mucha proximidad entre estos valores reales y teóricos. Esto es lo que permite pensar que usar este modelo y calcular predicciones con él es suficientemente correcto. Esto suele considerarse como una Calibración.

Veamos ahora lo mismo pero con la variable x2:

Viendo estos datos vemos que los valores con 1 ó 0 ya no tienen una disposición que haga pensar en un buen ajuste. Veamos la aplicación del Test:

Ahora el p-valor del Test es menor que 0.05, lo que implica que la Hipótesis nula no parece lógico mantenerla a la luz de lo que vemos en nuestros datos. Si observamos, también, la tabla de los valores observados y esperados, tanto entre los valores con 1 y con 0, vemos que hay mucha distancia entre los valores observados y los valores esperados.

En una situación como esta no sería recomendable el uso del modelo de Regresión logística.