En estas funciones lineales el máximo o mínimo siempre está en algún vértice de la zona factible.

Veámoslo en este ejemplo visto:

Veamos el primer caso con Geogebra 3d, teniendo en cuenta que en Geogebra se trabaja con x, y, z:

En este caso el punto con el valor más elevado es el (10, 0).

Veamos ahora la segunda función:

En este caso el máximo está en el punto (0,5).

Veamos gráficamente la tercera:

En este caso el máximo está en el punto (10, 0).

Veamos ahora ejemplos prácticos de aplicación de estas cuestiones matemáticas:

1.Una empresa distribuidora de fruta suministra dos tipos de cajas (A y B) con naranjas y mandarinas en ambas. En la caja A hay 8 Kg de naranjas y 2 Kg de mandarinas, en la B 5 Kg de naranjas y 5 de mandarinas. Un año que la producción de naranjas ha sido de 24000 y la de mandarinas de 12000 y que el precio de venta es de 0,6 euros el Kg de naranjas y de 0,7 euros el Kg de mandarinas, ¿cuántas cajas de cada tipo maximizan el beneficio?

2.Una empresa turística de aventuras en barco ofrece dos tipos de actividades A y B. La A tiene un preciso de 60 euros por persona con un límite de 10 participantes por barco y con la necesidad de 5 instructores. La actividad B tiene un precio de 18 euros y pueden ir hasta 25 personas en el barco y precisa de 2 instructores. La empresa cuenta con 30 barcos y 75 instructores. Para obtener el máximo de ingresos suponiendo que llenará todos los barcos. ¿Cuál es la disposición de las dos actividades A y B con la que se conseguiría el máximo de beneficio?

3.Un restaurante acaba de abrir y quiere anunciarse en radio y TV durante una semana. Tiene un presupuesto de 18.000 euros. Cada anuncio de radio cuesta 1000 euros y un estudio previo nos dice que hace falta hacer al menos 3 para generar efectos. Cada anuncio en TV cuesta 3000 euros y por disponibilidad de programación se pueden hacer como máximo 4. Se estima que por cada anuncio de radio se obtienen 10 clientes y por cada anuncio en TV 60 clientes. ¿Cuál es la mejor forma de invertir en ambos anuncios para obtener el máximo de nuevos clientes?

4.Una fábrica produce A y B. El producto A le da un beneficio de 20 euros y B de 25 euros. Cada mes puede producir en total 120 artículos. Como máximo puede producir 100 productos de A y debe producir como mínimo 10 de B. Además la cantidad de A debe ser como mínimo el triple de B. ¿Cuál es la producción mensual que le aporta más beneficio?