1d:

No tiene por qué ser la media muestral un valor dentro de ese intervalo. Por ejemplo, en la muestra (30, 30, 30, 50, 50, 50, 50, 1000), la media muestral sale de ese intervalo claramente.

No tiene por qué ser mayor que 50 la media muestral. En esta muestra, por ejemplo, no lo es: (0, 20, 40, 50, 50, 50, 50, 50).

El mínimo de la muestra, evidentemente, no tiene por qué ser 30. La muestra anterior es, de nuevo, un ejemplo.

La media muestral puede ser igual a cero, claramente. Observemos la siguiente muestra: (-310, 20, 40, 50, 50, 50, 50, 50). En ella tenemos una media muestral igual a 0.

2a:

La Sensibilidad es la probabilidad de que la prueba diagnóstica dé positiva si la persona está enferma de la patología que se pretende diagnosticar; o sea, P(+/E). Sabemos que P(-/E) es la probabilidad de tener un falso negativo. Sabemos también, claro, que P(+/E)+P(-/E)=1. Por lo tanto, Sensibilidad+P(Falsos negativos)=1.

La Especificidad es la probabilidad de que la prueba diagnóstica dé negativa si la persona no está enferma de la patología que se pretende diagnosticar; o sea, P(-/NE). Sabemos que P(+/NE) es la probabilidad de tener un falso positivo. Sabemos también, claro, que P(-/NE)+P(+/NE)=1. Por lo tanto, Especificidad+P(Falsos positivos)=1.

La Sensibilidad y la Especificidad pueden ser muy grandes y, sin embargo, tratarse de una técnica no aplicable. Por ejemplo, si la VPP es muy baja. ¿De qué sirve tener mucha Sensibilidad y Especificidad si casi siempre que una persona dé positivo no será enfermo?

El VPP no tiene por qué ser menor que la Sensibilidad. Puede ser mayor, perfectamente. Son conceptos independientes.

3b:

El máximo menos el mínimo de una muestra siempre es el rango de la muestra, por definición.

Si la distribución de la muestra se ajusta a una normal la media muestral y la mediana muestral pueden ser diferentes. Perfectamente. Se parecerán, pero no tienen por qué ser iguales.

Y la media muestral, por definición, es la suma de todos los valores muestrales dividido por el tamaño de la muestra.

Pero la mediana muestral es igual, efectivamente, a (v+w)/2, si la muestra está ordenada. Pero, en general, no. Y en el planteamiento del problema en ningún momento se nos dice que la muestra esté ordenada.

4c:

El criterio decisivo es tener valores altos de Sensibilidad, de Especificidad, de VPP y de VPN. Tener sólo valores altos de uno de esos criterios nos sirve de poco si no va acompañado de valores altos de los demás. Todos los criterios son, pues, decisivos, porque todos nos proporcionan una dimensión distinta del método diagnóstico.

El VPP es independiente de la Sensibilidad y de la Especificidad.

La Sensibilidad, como los demás conceptos, no es un criterio único para evaluar la calidad de un método diagnóstico.

Efectivamente el VPN suele ser bajo si la prevalencia de la enfermedad a diagnosticar es muy alta. En estos casos, aunque la Sensibilidad sea muy alta, por el enorme volumen de enfermos que hay los falsos negativos que haya pesarán mucho respecto a los verdaderos negativos que pueda haber, lo que nos llevará a una P(NE/-) baja.

5d:

Si un método diagnóstico cumple que todo enfermo de una determinada patología da positivo, entonces la Sensibilidad es 1. Se desprende de la definición. No hay falsos negativos, luego Sensibilidad=1.

Si un método diagnóstico cumple que toda persona que da positivo está enfermo de una determinada patología, entonces el VPP es 1. También se desprende de la definición. P(E/+)=1.

Si un método diagnóstico cumple que toda persona que da negativo está enfermo de una determinada patología, entonces el VPN es 0. Estamos diciendo que P(E/-)=1. Y sabemos que P(E/-)+P(NE/-)=1. Luego P(NE/-)=0; o sea: VPN=0.

Sin embargo, si un método diagnóstico cumple que todo no enfermo de una determinada patología da negativo, entonces  P(-/NE) =1; o sea, la Especificidad es igual a 1. Entonces 1-Especificidad=0, no igual a 1, por supuesto.