Archivos Mensuales: diciembre 2018

Situación 130: Ejemplo de Análisis discriminante

La siguiente base de datos de pacientes de demencia tiene la siguientes variables:

P=Número de Paciente

G=Grupo (Control, Alzhéimer, Demencia vascular y Demencia mixta)

S=Sexo (1=hombre, 2=mujer)

E=Edad

ES=Nivel de estudios (0=Analfabeto, 1=Primarios, 2=Mediosy 3=Superiores)

D=Diabetes mellitus

H=Hipertensión

C=Enfermedad coronaria

En estas variables 0 significa no y 1 sí.

MM0=Valor del Mini-Mental State Examination (MMSE) en el diagnóstico

MM3=Valor del Mini-Mental a los 3 años del diagnóstico

VH3=Volumen del Hipocampo a los 3 años del diagnóstico en cc

P G S E ES D H C MM0 MM3 VH3
1 Control 1 60 1 1 1 0 27 27 5.5
2 Control 1 79 2 0 0 0 27 27 5.5
3 Control 1 71 2 0 1 0 27 28 5.7
4 Control 1 66 1 1 0 1 28 27 5.4
5 Control 2 69 0 0 0 1 27 27 5.3
6 Control 2 62 2 0 1 0 30 30 6.1
7 Control 2 60 1 1 1 0 28 28 6.0
8 Control 2 63 1 1 0 0 27 27 5.4
9 Control 2 77 1 0 0 1 28 28 5.6
10 Control 1 63 2 0 1 0 28 28 5.6
11 Control 1 79 1 1 1 0 29 29 5.8
12 Control 1 55 3 1 1 0 27 27 5.5
13 Control 2 72 1 0 0 0 29 29 5.5
14 Control 2 68 1 0 0 0 29 29 5.7
15 Control 1 81 2 0 1 1 28 28 5.6
16 Control 1 71 1 0 1 1 27 27 5.3
17 Control 2 61 2 0 0 0 27 27 5.4
18 Control 2 76 1 1 0 0 27 27 5.4
19 Control 2 72 1 0 0 0 30 29 6.2
20 Control 2 63 0 0 1 0 28 28 5.7
21 Control 2 67 2 0 0 0 28 28 5.5
22 Control 1 69 1 1 1 0 28 28 5.6
23 Control 1 60 1 0 0 0 28 28 5.7
24 Control 2 64 1 0 0 1 28 28 5.9
25 Control 2 73 2 1 1 1 30 30 6.0
26 Control 2 66 1 1 1 0 29 29 5.5
27 Control 2 76 3 0 0 0 27 28 5.8
28 Control 1 75 1 0 0 0 27 27 5.6
29 Control 2 62 1 1 1 1 29 29 5.6
30 Control 2 78 2 1 1 0 28 27 5.6
31 Control 1 57 1 0 0 0 29 27 5.2
32 Control 1 58 2 0 0 0 28 29 5.7
33 Control 2 63 1 1 1 0 28 29 5.8
34 Control 2 65 1 0 0 0 26 27 5.5
35 Control 2 74 0 0 0 1 27 27 5.2
36 Control 2 61 2 1 1 1 29 29 6.2
37 Control 1 71 1 0 0 0 27 29 6.2
38 Control 2 71 1 0 0 0 27 28 5.5
39 Control 2 63 1 1 1 0 28 28 5.4
40 Control 1 67 2 1 0 0 29 29 6.0
41 Control 1 69 1 0 1 0 28 30 6.1
42 Control 2 63 1 0 1 1 27 29 5.6
43 Control 2 75 1 1 0 1 29 27 5.8
44 Control 2 69 1 1 0 0 27 26 5.1
45 Control 2 62 2 0 1 0 30 30 5.6
46 Control 2 66 2 0 0 0 27 28 5.8
47 Control 1 57 1 1 0 1 26 26 4.9
48 Control 1 62 1 0 1 0 29 28 5.9
49 Control 1 59 0 0 1 0 29 28 5.4
50 Control 2 72 2 1 0 0 28 28 5.4
51 Alzhéimer 2 78 1 0 0 1 24 22 4.4
52 Alzhéimer 2 73 1 0 1 0 24 21 4.3
53 Alzhéimer 2 63 1 0 0 0 23 21 4.2
54 Alzhéimer 1 65 2 1 0 0 23 20 4.0
55 Alzhéimer 2 67 1 1 1 0 23 20 4.1
56 Alzhéimer 2 66 0 0 1 0 24 20 4.0
57 Alzhéimer 1 75 1 0 0 1 22 18 3.6
58 Alzhéimer 1 62 1 1 0 1 21 17 3.4
59 Alzhéimer 2 71 2 0 1 0 23 20 4.1
60 Alzhéimer 2 59 1 0 0 0 20 16 3.3
61 Alzhéimer 2 66 2 1 0 0 24 21 4.3
62 Alzhéimer 2 64 1 1 1 0 23 20 4.1
63 Alzhéimer 2 65 1 0 1 0 22 17 3.5
64 Alzhéimer 1 71 0 0 0 1 24 22 4.5
65 Alzhéimer 1 68 2 1 0 1 21 18 3.7
66 Alzhéimer 1 73 1 0 1 0 21 20 4.1
67 Alzhéimer 2 64 1 0 1 0 21 18 3.6
68 Alzhéimer 2 60 1 1 0 0 22 19 3.8
69 Alzhéimer 2 76 2 1 0 1 21 18 3.6
70 Alzhéimer 2 64 1 0 1 0 23 20 4.0
71 Alzhéimer 1 68 3 0 0 0 22 18 3.7
72 Alzhéimer 2 63 1 1 0 0 23 20 4.1
73 Alzhéimer 2 68 1 0 1 1 21 18 3.7
74 Alzhéimer 1 73 2 0 0 0 21 20 4.1
75 Alzhéimer 1 62 1 1 0 0 20 17 3.4
76 Alzhéimer 2 65 2 1 1 0 23 19 3.9
77 Alzhéimer 2 76 1 0 1 0 22 20 4.0
78 Alzhéimer 2 61 1 0 0 0 21 17 3.4
79 Alzhéimer 2 67 0 1 0 1 21 18 3.7
80 Alzhéimer 2 64 2 0 1 1 21 18 3.7
81 Alzhéimer 1 64 1 0 1 0 24 21 4.3
82 Alzhéimer 2 69 1 1 0 0 20 18 3.7
83 Alzhéimer 2 74 1 1 0 0 22 19 3.9
84 Alzhéimer 2 57 2 0 1 0 24 19 3.9
85 Alzhéimer 1 67 1 0 0 0 23 20 4.0
86 Alzhéimer 1 73 3 1 0 1 22 19 3.9
87 Alzhéimer 2 74 1 0 1 1 21 19 3.8
88 Alzhéimer 2 72 1 0 1 0 21 18 3.7
89 Alzhéimer 2 78 2 0 0 1 24 21 4.3
90 Alzhéimer 2 68 2 0 0 0 23 19 3.8
91 Alzhéimer 1 73 1 0 1 0 20 18 3.7
92 Alzhéimer 2 64 1 0 0 0 23 20 4.0
93 Alzhéimer 1 75 0 1 0 0 22 18 3.7
94 Alzhéimer 1 63 2 0 1 0 23 20 4.0
95 Alzhéimer 2 79 1 0 1 1 21 20 4.0
96 Alzhéimer 2 77 1 1 0 1 24 22 4.4
97 Alzhéimer 2 76 1 1 0 0 21 18 3.7
98 Alzhéimer 2 62 2 0 0 0 22 17 3.4
99 Alzhéimer 1 70 1 0 0 0 21 18 3.7
100 Alzhéimer 2 73 1 1 1 0 21 19 3.9
101 Vascular 2 73 1 1 1 0 20 17 5.3
102 Vascular 1 75 1 0 0 1 20 14 5.5
103 Vascular 1 72 2 0 1 1 20 14 5.5
104 Vascular 2 71 1 1 0 0 21 13 5.7
105 Vascular 2 78 2 0 0 0 18 12 5.4
106 Vascular 2 61 1 0 1 0 20 14 5.3
107 Vascular 1 66 1 1 0 1 21 16 6.1
108 Vascular 1 69 0 0 0 0 19 13 6.0
109 Vascular 2 76 2 0 1 0 20 14 5.4
110 Vascular 2 77 1 0 1 0 18 16 5.6
111 Vascular 2 73 1 1 0 0 20 14 5.5
112 Vascular 2 61 1 1 0 0 20 13 5.5
113 Vascular 1 72 2 0 1 1 18 12 5.7
114 Vascular 2 56 1 0 0 1 20 18 5.4
115 Vascular 2 63 1 1 0 0 20 14 5.3
116 Vascular 1 67 1 1 1 0 20 16 6.1
117 Vascular 1 63 3 1 1 0 21 14 6.0
118 Vascular 2 73 2 1 0 0 20 14 5.4
119 Vascular 2 55 1 1 0 0 19 12 5.6
120 Vascular 2 65 2 0 0 1 20 13 5.5
121 Vascular 2 58 1 1 0 1 21 16 5.5
122 Vascular 1 74 1 1 1 0 21 15 5.7
123 Vascular 1 61 1 0 1 0 20 15 5.4
124 Vascular 2 70 2 1 1 1 21 14 5.3
125 Vascular 2 58 1 1 1 0 20 14 6.1
126 Vascular 2 62 1 1 1 0 21 14 6.0
127 Vascular 2 63 1 0 1 0 21 14 5.4
128 Vascular 1 61 2 0 0 0 18 13 5.6
129 Vascular 2 71 1 1 1 0 18 11 5.6
130 Vascular 2 60 1 1 1 1 21 15 5.8
131 Vascular 1 77 1 0 1 1 20 12 5.5
132 Vascular 1 73 1 0 1 0 19 13 5.2
133 Vascular 2 69 2 1 0 0 18 13 5.7
134 Vascular 2 69 1 0 0 0 18 12 5.8
135 Vascular 2 78 2 0 1 0 18 10 5.5
136 Vascular 1 57 1 1 0 0 21 15 5.2
137 Vascular 1 64 3 1 0 1 19 14 6.2
138 Vascular 2 60 1 1 1 1 20 14 6.2
139 Vascular 2 62 1 1 1 0 18 13 5.5
140 Vascular 2 72 2 1 0 0 18 12 5.4
141 Vascular 2 72 1 0 0 0 19 12 6.0
142 Vascular 1 79 2 1 0 1 19 13 6.1
143 Vascular 2 62 1 1 1 0 18 12 5.6
144 Vascular 2 75 1 1 1 1 21 14 5.8
145 Vascular 1 68 1 1 0 0 21 15 5.1
146 Vascular 1 60 2 0 0 0 19 12 5.6
147 Vascular 2 60 1 1 1 0 19 12 5.8
148 Vascular 2 79 1 1 1 0 20 15 4.9
149 Vascular 1 67 1 0 0 0 18 14 5.9
150 Vascular 1 59 3 0 0 1 18 12 5.4
151 Mixta 2 65 1 1 1 1 21 15 4.2
152 Mixta 2 78 1 0 0 0 20 16 4.1
153 Mixta 2 66 1 0 0 0 20 16 4.2
154 Mixta 2 64 1 1 1 0 19 15 4.1
155 Mixta 1 55 2 1 1 0 21 17 4.3
156 Mixta 2 63 1 0 0 0 21 17 4.5
157 Mixta 2 66 2 0 0 1 20 16 4.2
158 Mixta 1 65 1 1 1 1 19 15 4.2
159 Mixta 1 70 1 0 1 0 21 17 4.2
160 Mixta 2 71 1 0 1 0 19 15 4.2
161 Mixta 2 64 2 1 0 0 21 18 4.3
162 Mixta 1 79 1 1 0 0 20 16 3.8
163 Mixta 1 63 1 0 1 1 18 15 4.0
164 Mixta 2 60 1 0 0 0 20 16 4.3
165 Mixta 2 56 1 1 0 0 19 16 4.4
166 Mixta 2 78 2 1 1 0 19 13 3.5
167 Mixta 2 67 1 0 1 0 19 15 4.1
168 Mixta 1 74 3 0 0 0 19 17 4.2
169 Mixta 2 60 1 1 0 1 21 14 4.1
170 Mixta 2 77 1 0 1 1 18 14 3.7
171 Mixta 1 72 2 0 1 0 21 18 4.6
172 Mixta 1 76 1 1 0 0 20 15 4.1
173 Mixta 2 71 2 0 0 0 18 14 3.9
174 Mixta 2 64 1 0 1 0 21 16 4.1
175 Mixta 1 79 1 1 0 0 20 15 3.9
176 Mixta 1 58 2 1 0 0 20 16 3.8
177 Mixta 2 73 2 1 1 1 20 16 4.3
178 Mixta 2 72 1 0 0 0 18 13 3.5
179 Mixta 2 70 1 0 0 0 20 14 3.7
180 Mixta 2 72 1 1 1 0 19 15 4.2
181 Mixta 1 70 2 0 0 0 21 19 4.8
182 Mixta 2 74 1 0 1 0 20 16 3.9
183 Mixta 2 78 1 1 0 1 19 15 4.1
184 Mixta 1 60 1 1 0 1 20 15 4.1
185 Mixta 1 64 1 0 1 0 20 16 4.2
186 Mixta 2 62 2 0 0 0 20 16 3.9
187 Mixta 2 67 1 1 0 0 21 17 4.3
188 Mixta 2 79 2 0 1 0 21 16 4.2
189 Mixta 1 70 1 0 1 0 18 14 3.9
190 Mixta 1 70 1 1 0 1 19 14 3.4
191 Mixta 2 77 0 1 0 1 18 14 3.6
192 Mixta 2 78 2 0 1 0 19 14 3.8
193 Mixta 2 66 1 0 0 0 20 14 3.6
194 Mixta 2 74 1 1 1 0 21 15 4.0
195 Mixta 1 78 1 1 1 1 20 16 3.8
196 Mixta 2 67 2 0 1 0 21 16 4.4
197 Mixta 2 72 1 0 1 0 19 15 4.1
198 Mixta 1 70 3 1 1 0 18 13 3.4
199 Mixta 1 68 1 0 1 0 20 17 4.5
200 Mixta 2 75 1 0 1 0 19 14 3.6

Ver la capacidad discriminativa para diferenciar entre tener o no demencia y cuál de las tres demencias se tiene, en el momento del diagnóstico; o sea, con todas las variables excepto las dos últimas y ver, luego, la capacidad discriminativa que se tiene a los tres años del diagnóstico, ahora sí con las todas las variables.

Situación 129: Problemas ANOVA

1.Tenemos que estudiar la calidad del producto de los operarios de una empresa. Cogemos tres operarios al azar para el estudio. Queremos ver, también, la influencia de las máquinas con las que se trabaja. Se eligen tres de las veinticinco que hay en la empresa. Cada trabajador opera con cada máquina para elaborar dos productos. Se estudia la calidad del 0 al 10 del producto final. La tabla ANOVA es la siguiente. Completarla:

A=Factor operario

B=Factor máquina

2.Tenemos el mismo caso que el estudio anterior pero ahora la diferencia es que sólo se cogen dos operarios y dos máquinas y el producto final que elaboran se estudia por parte de ocho evaluadores distintos. Cada evaluador estudia las dos réplicas de una única combinación de operador y máquina. Cada combinación de operador y máquina la estudian dos evaluadores. La tabla ANOVA es la siguiente. Completarla:

A=Factor operario

B=Factor máquina

C=Factor evaluador

3.Tenemos la intención de estudiar el nivel de limpieza de todas las playas en poblaciones superiores a 5.000 habitantes en el litoral catalán. Se eligen dos playas al azar para hacer el estudio. Se eligen, al mismo tiempo, tres subzonas en cada una de las playas porque se quiere evaluar, también, la heterogeneidad interna. Cada muestra se evalúa mediante dos sistemas de medida que se pretende comparar. Se hacen dos réplicas. La tabla ANOVA es la siguiente. Completarla:

A=Factor playa

B=Factor sistema de medida

C=Factor subzona de la playa

4. En un proceso industrial queremos evaluar dos clases de levadura, dos tipos de azúcar y dos temperaturas. Para ello se realizan todas las combinaciones posibles de los tres factores. Se realizan dos réplicas por cada condición experimental. La tabla ANOVA es la siguiente. Completarla.

A=Factor levadura

B=Factor azúcar

C=Factor temperatura

5. En un proceso industrial queremos evaluar la variabilidad introducida por los operarios y, al mismo tiempo, queremos ver cómo influyen dos clases distintas de levadura y dos temperaturas diferentes. Para ello se realizan todas las combinaciones posibles de los tres factores. Se realizan dos réplicas por cada condición experimental. La tabla ANOVA es la siguiente. Completarla.

A=Factor operario

B=Factor levadura

C=Factor temperatura

Situación 128: Trabajo Estadística Oceanografía

Se ha hecho un estudio en dos zonas marinas que se quieren comparar. Se han hecho 20 observaciones en cada zona. Se ha analizado la temperatura, la salinidad, la abundancia relativa de la Especie A (especie del fitoplancton siempre presente) y la presencia o ausencia (1ó 0, respectivamente), en la muestra, de la Especie B y de la especie C.

Los resultados obtenidos son los siguientes:

ZONA TEMP SAL EspA EspB EspC
1 12,4 35,6 1,31 1 0
1 13 35,8 1,30 0 1
1 12,3 34,7 1,25 0 1
1 12,8 34,7 1,30 0 1
1 12,9 35,9 1,37 0 1
1 13,1 34,6 1,37 0 0
1 13,2 35,7 1,40 0 0
1 13,1 34,7 1,38 1 0
1 12,8 34,7 1,32 1 0
1 12,9 35,9 1,31 1 0
1 13 34,6 1,30 1 1
1 12,3 34,7 1,30 0 1
1 12,8 34,7 1,34 0 1
1 12,9 35,9 1,38 0 1
1 13,1 34,6 1,36 0 0
1 13,2 35,9 1,33 1 0
1 14 34,6 1,42 1 0
1 13,1 34,7 1,35 0 0
1 12,8 34,7 1,34 0 0
1 12,9 35,9 1,38 0 1
1 13,1 34,7 1,38 1 0
1 12,8 34,7 1,32 1 0
1 12,9 35,9 1,31 1 0
1 13,1 34,6 1,36 0 0
1 13,2 35,9 1,33 1 0
1 14 34,6 1,42 1 0
1 13,1 34,7 1,35 0 0
1 12,8 34,7 1,34 0 0
1 12,9 35,9 1,38 0 1
1 13,1 34,7 1,38 1 0
1 12,8 34,7 1,32 1 0
1 12,9 35,9 1,31 1 0
1 13 34,6 1,30 1 1
1 12,3 34,7 1,30 0 1
1 12,8 34,7 1,34 0 1
1 12,8 34,7 1,30 0 1
1 12,9 35,9 1,37 0 1
1 13,1 34,6 1,37 0 0
1 13,2 35,7 1,40 0 0
1 13,1 34,7 1,38 1 0
2 14 35,8 1,50 0 1
2 14,3 34,7 1,46 1 1
2 14,4 34,7 1,49 0 1
2 13,9 35,9 1,43 1 0
2 13,8 34,6 1,38 0 1
2 14,6 35,7 1,49 1 0
2 14,4 34,7 1,45 1 0
2 13,9 35,8 1,44 1 0
2 13,8 34,7 1,43 1 0
2 13,9 34,7 1,44 1 0
2 13,8 35,9 1,45 1 1
2 14,6 34,6 1,53 0 1
2 13,9 35,7 1,40 0 1
2 13,8 34,7 1,44 1 1
2 13,9 34,7 1,41 0 1
2 13,8 35,9 1,39 0 0
2 14,6 34,6 1,50 1 0
2 14,4 34,7 1,52 0 1
2 13,9 34,7 1,44 1 0
2 14,6 35,9 1,50 1 0
2 14,4 34,7 1,49 0 1
2 13,9 35,9 1,43 1 0
2 13,8 34,6 1,38 0 1
2 14,6 35,7 1,49 1 0
2 14,4 34,7 1,45 1 0
2 13,9 35,8 1,44 1 0
2 14,4 34,7 1,49 0 1
2 13,9 35,9 1,43 1 0
2 14,4 34,7 1,49 0 1
2 13,9 35,9 1,43 1 0
2 13,8 34,6 1,38 0 1
2 14,6 35,7 1,49 1 0
2 14,4 34,7 1,45 1 0
2 13,9 35,8 1,44 1 0
2 14,4 34,7 1,49 0 1
2 14,6 34,6 1,53 0 1
2 13,9 35,7 1,40 0 1
2 14,4 34,7 1,52 0 1
2 13,9 34,7 1,44 1 0
2 14,6 35,9 1,50 1 0
  1. Hacer una descriptiva de la variable TEMPERATURA.
  2. Hacer una descriptiva de la variable Especie C.
  3. Analizar si es posible, y con qué calidad, pronosticar la abundancia de la Especie A a partir de la temperatura.
  4. Comprobar si hay relación entre la presencia o ausencia de las Especies B y C.
  5. Comprobar si hay diferencias estadísticamente significativas en las dos zonas en cuanto a la variable TEMPERATURA.

ANOVA de tres factores

Al tratar con tres factores las posibilidades de combinación se multiplican. Los factores pueden estar cruzados, anidados, pueden ser fijos aleatorios, en diferentes combinaciones, como ahora veremos.

Vamos a ver algunos posibles modelos de tres factores y su resolución en los cocientes de cuadrados medios para evaluar los posibles efectos del modelo en los correspondientes contrastes de hipótesis.

El primero es un modelo de tres factores cruzados fijos:

A partir de estas esperanzas de los cuadrados medios obtenidas mediante el Algoritmo de Bennet-Franklin podemos ver que en todos los contrastes de hipótesis de los siete efectos que se pueden evaluar el cociente de cuadrados medios será el del efecto a evaluar dividido por el residuo. Este es el caso más sencillo de todos los que veremos.

Veamos ahora una caso en el que los tres factores están cruzados pero uno es aleatorio y los otros dos fijos:

Ahora los cocientes a realizar, si observamos con atención las esperanzas de los cuadrados medios, son los siguientes:

Veamos ahora que son dos los factores aleatorios que están cruzados:

A la hora de hacer los contrastes de hipótesis no encontramos con un único problema. A la hora de contrastar el efecto del factor C, del fijo, vemos que en el denominador para poder dividir dos términos cuyas esperanzas, si es cierta la hipótesis nula, sean iguales, debemos hacer una combinación de cuadrados medios:

Veamos ahora el caso en que los tres factores cruzados son aleatorios:

 

En los contrastes en los efectos individuales de los tres factores debemos buscar combinaciones en el denominador:

Veamos ahora casos donde no están los tres cruzados. Veamos primero un caso donde un primer factor está cruzado con el segundo. Ambos fijos. Y un tercer factor aleatorio está anidado en el primero:

Veamos un caso como el anterior pero en el que los dos factores que están anidados,  jerarquizados, son, ambos, aleatorios:

Los cocientes son claros: Para el efecto A dividiremos MSA por MSC(A) porque si fuese cierta la hipótesis nula de que no hay Efecto de A entonces estaríamos dividiendo dos cuadrados medios con la misma esperanza. Y aquí está la clave: Se trata siempre de dividir dos cuadrados medios que si es cierta la hipótesis nula apunten en la misma dirección y, por lo tanto, el cociente será un valor pequeño, próximo a 1 y si, por el contrario, el cociente en grande será porque la hipótesis nula de que no hay efecto no es posible mantenerla. Esta es la clave, siempre, a la hora de resolver un modelo ANOVA.

Por lo mismo para el efecto B dividiremos MSB por MSAB, para el efecto C(A) dividiremos MSC(A) por MSE, para el efecto AB dividiremos MSAB por MSBC(A) y, finalmente, para el efecto BC(A) dividiremos MSBC(A) por MSE.

Veamos una versión como esta pero en la que los tres factores son aleatorios:

Los cocientes ahora serán los siguientes:

Observemos especialmente el primer cociente en el que en el denominador debe buscarse una combinación de cuadrados medios cuya esperanza sea la misma que en el numerador si la hipótesis nula fuese cierta.

Veamos ahora un caso de dos factores cruzados fijos y un tercer factor, aleatorio, anidado en los dos primeros, cosa que suele decirse que está anidado en la interacción:

Como puede verse al valorar tanto el efecto de A, como el de B, como el de la interacción AB deberemos dividir por MSC(A,B). El efecto de C(A,B) lo evaluaremos dividiendo por el residuo.

Veamos el mismo caso que el anterior pero en el que el tercer factor anidado es fijo:

Aquí todos los contrastes los realizaremos dividiendo por el residuo MSE.

Veamos el mismo caso que los dos anteriores pero en el que los tres factores fuesen aleatorios:

Par evaluar el efecto de A dividiremos por MSAB, el de B también por MSAB, el efecto de AB por MSC(A,B) y el efecto de C(A,B) dividiremos por el residuo MSE.

 

Veamos ahora el caso de un factor fijo, uno aleatorio anidado en él y un tercero, también aleatorio, anidado en el segundo y, por lo tanto, también en el primero:

Para evaluar el efecto de A dividiremos por  MSB(A), para evaluar el efecto de B(A) dividiremos por MSC(A,B) y para evaluar el efecto de C(A,B) dividiremos por MSE.

Un modelo más de forma rápida: Si en el modelo tenemos que los tres factores son aleatorios, el único cero que hay en la matriz sería un 1, pero se puede comprobar fácilmente que eso no cambiaría para nada las esperanzas de los cuadrados medios ni, por supuesto los cocientes a realizar.